dimarts, 7 de març de 2017

UN DECIMAL PERIÒDIC

Problema de la 2ª fase del Fem Matemàtiques 2016- 6è 

Etiquetes: Divisió entera. Residu. Patró numèric 


DIVISIÓ DOLÇA
Autor: Clara de Pouplana Xarrié/Concurs fotografia matemàtica 08
DIVISIÓ NATURAL
Autor: Laura Balagué/Concurs fotografia matemàtica10

Per què hem seleccionat aquest problema?
És un bon problema per treballar la importància del residu en la divisió i la cerca de relacions i patrons amb números. Per tant, serà un treball d’investigació de les relacions numèriques i de generalització posterior. Són tipus d’exercicis que treballem poc a l’aula i que, en canvi, donen una visió més amplia del concepte i fa que treballin la cerca dels patrons.
El tema de la divisibilitat, plantejat d’una manera més amplia, “donant un esquema conceptual ric i no centrat només en un entrenament dels algoritmes”, està molt ben explicat al llibre (Calvo, Delofeu. Jareño, Morera.(2016). Aprender a enseñar matemáticas en la ed. secundària obligatòria. Ed. Síntesis, 65-67) i també treballat i ampliat pel PUNTMAT a la seva entrada: “El residu si importa(1ªpart) i (2ªpart)”. Nosaltres en vam fer referència a la nostra entrada anterior del JOC DE LA RESTA. Ambdues entrades són magnífiques situacions dissenyades perquè es puguin fer connexions i ampliar el concepte i aplicacions de la divisibilitat. En el cas del JOC DE LA RESTA, introdueix la divisió a partir de fer grups iguals i relacionant-la amb la resta reiterada i, a més, profunditza en el concepte del mcd (no de cap algoritme). I en aquesta entrada, s'amplien els significats dels elements d’una divisió no exacta. Es centra en l’obtenció d’un decimal periòdic, on a partir de plantejar una divisió entera adequada, el quocient ens dóna informació del contingut del cicle i el residu del lloc ocupat en el cicle incomplet. Aquest cicle forma una sèrie o patró que ens ajuda a trobar o predir el valor d’una xifra en un lloc determinat.
No és un problema de fàcil resolució per als alumnes de 6è en quant es passa a la predicció i trobar la norma sense recompte. Per tant, és un bon problema per iniciar-se en la generalització a partir d’una sèrie numèrica i en un tema central com el de la divisibilitat, i dintre d’aquest, del paper que juga el residu en la divisió entera.
Tal com ho veiem és un problema que treballa fonamentalment la competència 6 de primària (que té continuació amb la competència 7 de secundària) sobre connexions, que diu que cal que l’alumne pugui “establir relacions entre els diversos significats d’un concepte”, en aquest cas de la divisió decimal i divisió entera i el significat del període i del residu.[1]
Nivells: 6è i 1r d'ESO (2n ESO)
Possibles estratègies de resolució de problemes ([1])
Recompte; Reduïr el problema -provar amb casos més senzills- ; Cerca del patró.
Enunciat: 

Si calculeu, amb la calculadora, el quocient amb decimals de la divisió 9 : 37, la pantalla us mostrarà, com a molt, tretze xifres decimals. Amb aquestes xifres podreu deduir la resposta a les preguntes següents:
a) Quant sumen les 14 primeres xifres decimals del quocient?

b) Quant sumen les 100 primeres xifres decimals del mateix quocient?




Solució:
9/37 = 0, 243 periòdic pur, la longitud del període és 3.
a) 14 = 3 · 4 + 2 per tant, la suma és 4(2+4+3)+2+4 = 4·9+2+4 = 42.
b) 100 = 3 · 33 +1, la suma és 33(2+4+3)+2 = 33·9 + 2 = 297+2 = 299.

Comentari de les respostes dels alumnes:
Cal comentar que d’entre un total de 48 alumnes, només 10 van respondre més o menys correctament les dos activitats del problema i 17 més que només van respondre a la qüestió a).  Per a nosaltres, és un indicatiu de la falta de significativitat del valor del residu dintre de l’operació més enllà del “que queda”, a més de que no acaben de generalitzar el patró cíclic en el decimal periòdic pur. El primer exercici ho poden resoldre per la tècnica de comptar i sumar número per número ja que es poden escriure perfectament 14 xifres i, en canvi, al segon exercici tenen la dificultat de no poder escriure les 100 xifres i, per tant, necessiten utilitzar el patró i la divisió i entendre el significat del quocient i el residu en aquesta situació.

Tal com ha resolt aquests alumnes l’activitat a), és com ho fan la majoria en aquest nivell de 6è:


Només en algun cas trobem una argumentació fonamentada en el valor del quocient i el residu com en la següent:

  
Aquí posem un exemple de resolució de l’activitat b), que és on la majoria dels alumnes han trobat major dificultat.  En ell exposa que la suma de les 100 xifres dóna 299 i fa les operacions sense fer una explicació o raonament, encara que en el seu esquema es pot interpretar quin ha sigut:


En aquest cas no hi ha cap explicació del procés seguit. És aquí on el professor ha d’insistir en la verbalització, primer oral i després per escrit, per consolidar el concepte i, a més de treballar i progressar en la competència de comunicació.


El següent és el cas del mateix alumne que feia una molt bona argumentació de l’activitat a) i que torna a aplicar el patró per a un número més gran sense dificultat dotant de sentit al quocient i al residu:


Exemples d’errors conceptuals
A partir de les respostes dels alumnes també us adjuntem exemples d’errors que creiem que poden ser útils per el professorat a l’hora de treballar el problema a l’aula.

En el següent exemple veiem que l’alumne confon 2+3+4 amb el nombre 243 i per tant que hi ha un problema en entendre el diferent valor que assoleix una xifra en el sistema decimal posicional:
 
L’error d’aquest alumne és que no sap emprar la divisió entera quan la necessita i tampoc entén el concepte del residu i com surt:


Avaluació competencial:
Com molts problemes, mai es treballa una sola competència i és difícil dir quina seria la més treballada. Nosaltres pensem que el problema treballa la competència 6 de primària (que té continuació amb la competència 7 de secundària) sobre connexions, que diu que cal que l’alumne pugui “establir relacions entre els diversos significats d’un concepte”, en aquest cas de la divisió decimal i divisió entera i el significat del període i del residu.[1]

Tal com indica la graduació en 3 nivells, en funció del grau de consciència:

Nivell 1: Aquells alumnes que mostren que identifiquen el concepte bàsic en situacions on tenen diversos significats.
Seria el cas de l’alumne, encara que li manca la verbalització del procés per avançar cap a un llenguatge matemàtic:

Nivell 2: Fan un pas més endavant i descriuen la connexió feta, tot i que no implica que donin raons. Per exemple:


Nivell 3: Planifiquen la resolució i arriben a la solució amb una bona justificació de les relacions. Com el cas de l’alumne que fa una bona argumentació:


Més sobre decimals periòdics

Si voleu més activitats interessants relacionades amb els decimals periòdics us recomenem l'entrada del blog de PUNTMAT:http://puntmat.blogspot.com.es/2013/01/decimals-periodics.html



[1] COMPETÈNCIES BÀSIQUES DE L’ÀMBIT MATEMÀTIC. EDUCACIÓ PRIMÀRIA. http://ensenyament.gencat.cat/web/.content/home/departament/publicacions/colleccions/competencies-basiques/primaria/prim-matematic.pdf

dimarts, 31 de gener de 2017

EL JOC DE LES RESTES

FM16- 2n ESO


Paraules clau

Joc, divisibilitat,  mcd, raonament aritmètic, algoritme d'Euclides, pràctica productiva, connexions

Nivell

6è, 1r ESO, 2n ESO, 3r ESO (en els primers cursos per potser no cal arribar a fer l'última pregunta que deixariem per al cursos superiors).


Enunciat 

Introducció

Aquest problema tracta un dels temes clau de secundària, la divisibilitat i, concretament, el màxim comú divisor, però partint del punt de vista conceptual. No busca l’aplicació mecànica d’un algorisme de factors i exponents, que per a la gran majoria dels alumnes no té sentit, sinó que incideix en el concepte per  arribar-hi d’una manera raonada. En aquest sentit és molt interessant la lectura de l’article de la Cecília Calvo: “Divisibilidad: una excusa para hablar de cosas importantes”: http://www.semur.edu.uy/curem5/actas/pdf/50.pdf  que insisteix en “promoure esquemes conceptuals rics en relació als conceptes matemàtics, en no centrar l’aprenentatge d’un concepte en l’entrenament d’algoritmes associats i practicar els procediments matemàtics de manera productiva.”

Sota l’aparença d’un senzill joc o repte de restes que tots els alumnes poden començar i fer, s’amaguen patrons que han d’anar descobrint i conceptes clau de divisibilitat per arribar a trobar un algoritme fàcil per descobrir el mcd de dos nombres i relacionar-ho amb l’algoritme d’Euclides com a mètode alternatiu que introdueix també un altre i més complet significat del residu en la divisió. Aquesta última relació necessitarà de la guia i orientació del professor doncs el salt entre les activitats anteriors i la que demana la relació no és gens fàcil. Per això donem al professorat material que treballa el concepte des de diferents perspectives i que pot ajudar als alumnes a arribar a les seves pròpies conclusions de manera més fàcil i autònoma (sobretot els de secundària).

Per què hem seleccionat aquest problema? 

Aquest repte o joc està àmpliament treballat al bloc del PUNTMAT en el post: Pràctica productiva amb restes http://puntmat.blogspot.com.es/2014/11/practica-productiva-amb-restes.html. Realment, no caldria afegir res més a tots els suggeriments didàctics i ampliacions que donen, a més dels recursos digitals o applets que ofereixen tant del joc de les restes com de l’algoritme d’Euclides.  Però pensem que, per les raons exposades a la introducció, com a exemple de treball productiu i com exemple de treball de la competència 7 de l’ESO (amb correspondència de la competència 6 de primària) d’interconnexió entre les diverses parts de la matemàtica i els diversos significats d’un mateix concepte, val la pena exposar-lo i també veure algunes molt bones observacions que han reflexat els alumnes en els seus informes.

Per una altra banda hem trobat bons materials (apartats de recursos i d’ampliació) que poden donar un pas més en la visió didàctica del professorat respecte a la divisibilitat i una altra perspectiva visual del raonament del mcd entre dos números a partir de la construcció d’un rectangle i divisió d’aquest en quadrats seguint l’algoritme d’Euclides. 

Treballar un concepte des de perspectives i representacions diferents, amplia les possibilitats de construcció significativa i de comprensió del mateix per part de l’alumnat. Amb els recursos podeu ajudar als alumnes a establir les connexions entre el joc de les restes proposat, el màxim comú divisor i l’algorisme d’Euclides.

Les respostes d’alumnes que posem com a exemples són extretes de 15 informes dels presentats pels alumnes en la primera fase del FM16.

Bloc de continguts

Numeració i càlcul. Canvi i relacions.

Competències implicades 

PROBLEMA
COMPETÈNCIES SECUNDÀRIA

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
JOC DE LES RESTES













Competència 7: Usar les relacions que hi ha entre les diverses parts de les matemàtiques per analitzar situacions i per raonar ([1], p.33) (correspondència amb la 6 de primària).

Possibles estratègies de resolució de problemes ([2])

Abordatge fent un joc.Cerca del patró. 

Recursos

. Graella digital o applet per fer el joc de les restes: http://www.amblesideprimary.com/ambleweb/mentalmaths/countersquare.html





. Demostració visual de l’algoritme d’Euclides amb GeoGebra: 

L'objectiu és trobar de forma visual el mcd (a,b) i ajudar a entendre aquest concepte.

. “Omplim de taulellets” en el bloc del Manel Martínez: 

La divisibilitat i el concepte de màxim comú divisor entre dos nombres enters. Tot girarà entorn de l’algorisme d’Euclides. S’acompanya d’un programa de Scratch on un simpàtic ratpenat aplicarà l'Algorisme per trobar el màxim comú divisor entre dos nombres enters positius menors que 100.
 

Enunciat i solucions 

Ara comença el repte de veritat. Ara us toca a vosaltres investigar diferents situacions.
a.- Què passa si els nombres triats són 15 i 16? Solució: queden pintats tots els nombres anteriors a 16.
b.- Què passa si els nombres triats són 32 i 34? Solució: pintem tots els parells anteriors a 34.
c.- Què passa si els nombres triats són 41 i 43? Solució: queden pintats tots els anteriors a 43.
















Justificació i raonament de la solució de la pregunta c de l’informe d’un dels equips 


d.- Observeu que en la primera pregunta els dos nombres són consecutius, en la segona són dos parells consecutius i en la tercera són imparells consecutius. Si escolliu parelles semblants a les anteriors passaria el mateix? Podeu trobar una llei general? Cal valorar la justificació.
Si escollim dos nombres consecutius les restes cobreixen... Solució: en aquest cas les restes cobreixen tota la graella fins al més gran dels dos nombres inicials
Si escollim dos parells consecutius les restes cobreixen... Solució: en aquest cas les restes cobreixen els nombres parells de la graella fins al més gran dels dos nombres inicials
Si escollim dos imparells consecutius les restes cobreixen... Solució: en aquest cas les restes cobreixen tota la graella fins al més gran dels dos nombres inicials. S’han de valorar les justificacions que siguin semblants a que “en restar els dos nombres inicials, com són consecutius, el resultat sempre serà 2. Amb el nombre 2, aconseguim tots els imparells sempre més petits que els inicials. Però com després es pot aconseguir l’1, fent 5 – 3 =2  i 3 – 2 =1, acabarem aconseguint els parells restants. En finalitzar, acabarem aconseguint tots els nombres més petits dels inicials”

e. Trobeu unes quantes parelles inicials que compleixin que tots els punts marcats siguin:
1-. Múltiples de 3?
2-. Múltiples de 4?
3-. Múltiples de 5?
4-. En cada cas dels anteriors hi ha més d’una possibilitat?
Solució: Els nombres escollits han de ser múltiples consecutius del que demana l’enunciat. Tots els nombres que queden marcats són múltiples de 3, de 4 o de 5 en funció de l’enunciat. I queden unes imatges significatives de les graelles pintades:



f. Després d’haver estudiat tants cassos, sabríeu dir quina relació hi ha entre els dos nombres triats al principi i el menor dels nombres acolorit?
Solució: després d’haver fet el joc amb l’exemple de l’enunciat i els exemples de la pregunta e (si, per exemple, els múltiples que agafen de 3 no són consecutius com 63 i 18, el número més petit és el 9 que és el mcd de 18 i 63), haurien d’arribar a la conclusió de que el menor dels nombres acolorits, és el màxim comú divisor dels dos nombres. També que tots els nombres que acaben pintant són múltiples d’aquest mcd.

                                          
g. Feu una cerca per Internet per esbrinar com funciona i per a què serveix l'algorisme d'Euclides. En aquest algorisme es fan divisions enteres. Sabeu que una divisió entera es pot fer amb restes successives? Quina relació hi ha entre el joc de les restes i l'algoritme d'Euclides?
Solució:
Els alumnes haurien d’investigar sobre el que diu l’algoritme d’Euclides.

  Imatge del bloc de Clara Grima: “El “más menor” de los múltiplos y el “más mayor” de los divisores”

O aquesta versió més formal:
 Font:  gaussianos.com

Aquesta pregunta final de connexió és on troben la verdadera dificultat. Per això, com a treball d’aula us suggerim el treball amb els diferents recursos de l’entrada del Puntmat i de l’apartat d’ampliació que us proposem.
Alguns no entenen que el que demana la pregunta és una connexió i només hi posen l’enunciat de l’algoritme d’Euclides que han trobat a Internet.
Altres arriben a dir que els dos algoritmes serveixen per trobar el mcd de dos números donats, és a dir, que la connexió és que tenen la mateixa funció.
I molt pocs, acaben de profunditzar en la relació entre els dos i donar una bona argumentació del que han trobat.
Ens ha agradat molt els raonaments que fan alguns dels equips per trobar la semblança entre els dos algoritmes:


En aquest últim exemple, volem destacar l’últim paràgraf del raonament dels alumnes que arriben a adonar-se del concepte més ampli de divisió com una cadena de restes successives (el que podríem relacionar amb el concepte, ja més generalitzat, de que el producte són sumes successives i adonar-se de totes les relacions entre les quatre operacions).

Ampliacions

.  El algoritmo de Euclides como nunca lo habías visto. http://gaussianos.com/el-algoritmo-de-euclides-como-nunca-lo-habias-visto  Mostra de forma interactiva visual amb l’ajuda del GeoGebra donant un raonament geomètric al mcd de dos números. Una altra perspectiva o mirada per ampliar el concepte.
. Barba, D., & Calvo, C. (2014). Algunas actividades para hablar de divisibilidad. Suma: Revista sobre Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas, (76), 91-98. http://puntmat.blogspot.com.es/p/publicacions.html

. Apartado 679. El mcd y las fracciones continuas. Lorenzo López, J. http://joselorlop.blogspot.com.es/2016_11_01_archive.html


“Ejemplo de cómo todo rectángulo con lados naturales se puede descomponer en una cantidad finita de cuadrados con lados naturales y, lo que es equivalente, de cómo todo número racional se puede escribir como una fracción continua finita... gracias al algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor (mcd) de dos números naturales”.








REFERÈNCIES BIBLIOGRÀFIQUES 

. Calvo, C (2015). Divisibilidad: una excusa para hablar de cosas importantes. Acta del CUREM5 (V Congreso Uruguayo de Educación Matemática: http://www.semur.edu.uy/curem5/actas/pdf/50.pdf


ENUNCIAT PELS ALUMNES PDF

Es el segon problema (pàgines 4 i 5)