dijous, 28 de maig del 2015

L'ALÇADA DE LA TORRE

FM14-1r ESO
















Paraules clau
Divisors d’un nombre; Nombres primers i compostos; Criteris de divisibilitat; Arbre de factors; Descomposició en factors primers; Potències; Patrons; Raonament numèric.
Nivell
1r, 2n, 3r d'ESO
Enunciat
En un joc cal fer torres amb peces cúbiques que tenen cadascuna un número. Cada torre es construeix amb els divisors del número que hi ha a la part superior (tots i sense deixar-se’n cap).

Vegeu-ne un exemple:

La torre coronada pel número 10 té 4 pisos
a) Investigueu una mica i construïu les torres dels nombres entre 20 i 30.
b) Quins nombres estan al capdamunt de les torres de dos pisos?
c) Quins són els nombres que coronen les de tres pisos? Digueu també tres números que coronin una torre de tres pisos. Trobeu-ne un de 4 xifres.
d) Creus que hi haurà números que tinguin la torre de 5 pisos? Com hauran de ser aquests números? Trobeu-ne un de 5 xifres.
e) Quin número menor de 100 corona la torre més alta? De quants pisos és? Expliqueu clarament el procés que seguiu fins a trobar-lo.
f) Creieu que hi haurà torres de totes les alçades? Expliqueu la vostra resposta.

Introducció
Aquest problema treballa la cerca de divisors d’un nombre d’una manera productiva i exhaustiva. És un treball productiu ja que aquesta cerca es fa no només per l’automatització de la destresa bàsica sinó que s’ambienta en la resolució d’un problema o repte que resulta molt més motivador per als alumnes (tal com expliquen en el seu blog els autors del PuntMat [1]). I exhaustiva, perquè han de trobar alguna estratègia per saber que es tenen tots els divisors que es cerquen (PuntMat [2]) i proposta del CREAMAT [7]). Alhora impulsa a la investigació per la cerca de regularitats i patrons que permetin saber el número de divisors d’un nombre amb antelació i les característiques dels nombres amb un cert número de divisors.
Si es treballa el problema fora de concurs, es podria proposar com un problema cooperatiu (cada grup d’alumnes estudien els divisors d’un petit grup de nombres i en la posada en comú es pot donar respostes a la majoria dels reptes presentats en el problema).

Per què hem seleccionat aquest problema?
Aquest problema és un bon exemple de pràctica productiva que permet treballar un tema que és un dels nuclis més importants de treball a 1r d’ESO com és la divisibilitat i descobrir, també, que hi ha certes regularitats i patrons que es poden veure en fer aquesta pràctica, que en fer-se extensa, permet trobar-les.
Treballa amb els conceptes de: nombres primers, potències, imparells i parells, criteris de divisibilitat i amb els processos de: descomposició factorial (millor amb arbre de factors [3]) i la cerca de divisors d’un nombre. De fet, vam seleccionar el problema pensant que era una molt bona pràctica productiva del tema de divisors i, en fer-ho, vam veure que donava peu a un treball més ampli d’investigació a l’aula sobre la cerca de regularitats i patrons en el número de divisors d’un nombre.
La major part dels treballs presentats pels alumnes no arriben a trobar i arrodonir la resposta en l’última pregunta però estem convençuts que el treball d’investigació enfocat amb bones preguntes i donant pistes al alumnes d’estratègies per acabar de trobar la resposta sencera (doneu una ullada als recursos), portarà a un molt bon treball d’aula, sobretot per promoure l’ús del raonament matemàtic i la prova (“Experimentar de manera sistemàtica i comprovar de manera exhaustiva” tal com diu a les orientacions per les  (Competències bàsiques de l'àmbit matemàtic [4]; p.25)).
Les respostes que hem escollit com a exemples són respostes de 30 informes dels presentats pels alumnes en la primera fase del FM14.

Bloc de continguts
Numeració i càlcul, canvi i relacions.

Paraules clau
Divisors d’un nombre; Nombres primers i compostos; Criteris de divisibilitat; Arbre de factors; Descomposició en factors primers; Potències; Patrons; Raonament numèric.

Competències implicades( [4], p.8)
PROBLEMA
COMPETÈNCIES SECUNDÀRIA

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
L’ALÇADA DE LA TORRE












Competència 5: Construir, expressar i contrastar argumentacions per justificar i validar les afirmacions que es fan en matemàtiques. ([4], p.26).

Possibles estratègies de resolució de problemes (basades en els documents: CREAMAT [5] i "Estrategias para la resolución de problemas" [6])  Fer dibuixos i esquemes; Provar ordenadament; Organitzar la informació; Fer taules; Cerca de regularitats i patrons.

dimecres, 20 de maig del 2015

COMPTANT RAJOLES

FM14- 6è

Paraules clau
Patrons; regles funcionals; Raonament geomètric, visual i numèric; Deducció; Suma de nombres senars consecutius.
NIvell
6è, 1r, 2n, 3r ESO
Trobarem l'estratègia per guanyar? Quàntes peces tindrà el mosàic? (Escola Xarxa) 

Enunciat
El següent mosaic està format per rajoles blanques i negres. Té una amplada és de 9 rajoles.


a. Si en lloc d’aquest mosaic en tinguéssim un d’una amplada de 5 rajoles, quantes rajoles tindria en total?
b. I si fos de 13 d’amplada?
c. Si disposéssim de 70 rajoles blanques, de quina amplada seria el màxim mosaic que podríem formar? En sobrarien?
d. I si en tinguéssim 200 de negres? En sobrarien?
e. Quantes rajoles necessitem si hem d’omplir una paret on n’hi caben 175 d’amplada?
f. Expliqueu com es troba el número de rajoles necessàries a partir del número d’amplada del mosaic.

Introducció
En aquest problema es treballa la identificació de patrons i de seves les regles en un context geomètric. Ser capaç de resoldre’l és una indicació del treball amb un tipus de pensament funcional que permet generalitzar i desenvolupar una regla algebraica.

Per què hem seleccionat aquest problema?
Aquest problema permet treballar la cerca de patrons a partir de l’observació d’una figura geomètrica. La situació i la presentació proposada permet plantejar aquest problema a nivell de sisè de primària. A partir de l’observació de la figura que es presenta es poden treballar, fins i tot a nivell de sisè de primària, conceptes i procediments com per exemple, la suma dels imparells consecutius i la seva relació amb els quadrats perfectes. La cerca de patrons també permet treballar l’organització de la informació en taules (veure proposta a l’annex: [R1]). Igualment és un bon problema per a proposar als cursos superiors fins a 3r d'ESO posant en joc processos més avançats.
Recomanem que feu la vostra proposta de resolució del problema sencer abans de llegir les propostes de resolució dels alumnes, segurament més d’un s’enduu una sorpresa de la senzillesa i simplicitat dels raonaments emprats pels alumnes de sisè, però alhora de la profunditat dels resultats a què arriben. Les respostes que hem escollit com a exemples són respostes dels 40 informes presentats pels alumnes en la primera fase del FM14.

Bloc de continguts
Canvis i relacions

Competències implicades ( [1], p.8)
PROBLEMA
COMPETÈNCIES PRIMÀRIA

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
COMPTANT RAJOLES










Competència 1: Traduir un problema a una representació matemàtica i emprar conceptes, eines i estratègies matemàtiques per resoldre’l ([1], p.10). (Té continuïtat en les competències 1 i 2 d’ESO [2])
Competència 4: Fer conjectures matemàtiques adients en situacions quotidianes i comprovar-les. ([1], p.20). (Continuïtat en la competència 5 de l’ESO [2])
Competència 9: Usar les diverses representacions dels conceptes i relacions per expressar matemàticament una situació. ([1], p.37) (Continuïtat en la competència 9 de l’ESO)

Possibles estratègies de resolució de problemes (segons document CREAMAT[3])
Representació: fer dibuixos i esquemes; Raonament visual i geomètric; Provar ordenadament; Reduir el problema, provant amb casos més senzills; Organització en taules; Deducció;

VEURE FITXA COMPLETA

ENUNCIAT PELS ALUMNES

ANNEX