divendres, 11 de novembre del 2016

ESTRELLES DE FUTBOL

Hem renovat aquesta entrada per donar-li més amplitud i que pogui ser utilitzada per cursos superiors com a introducció a temes com les progressions i la combinatoria. Així, en arribar a la generalització i trobar el patró poden arribar a trobar la fórmula de la suma dels termes d'una progressió aritmética de diferència 1, per tant, podria ser el raonament geomètric d'aquesta progressió i una bona introducció al tema. Relacionat també amb la regularitat dels nombres triangulars. I amb combinatòria. Ho trobareu al final en un apartat nou de possibles ampliacions.

FM14-6è
I.Fernàndez. Concurs fotografia mat.2009
Paraules clau 
Relacions espacials; Patrons;  Raonament geomètric, visual i numèric; Progressió aritmètica. Avaluació competencial.
Nivell
6è, 1r ESO, 2n ESO, 3r ESO i endavant (aquests últims cursos com a introducció de la suma dels termes d'una progressió aritmética de diferència 1 i combinatòria).
Bloc de continguts
Canvi i relacions; Numeració i càlcul. 
Enunciat
5 jugadors de futbol estan entrenant al camp. Un dels exercicis consisteix a situar-se formant un cercle i passar-se la pilota amb la condició de que no es poden "repetir" les passades. 
a) Quin és el nombre mínim de passades que s’han de fer per tal que la pilota torni al primer jugador? Quantes passades diferents es poden fer abans que la pilota no torni al primer?
b) Ara volem que la trajectòria de la pilota formi una estrella de 5 punxes, com les que usaven els pitagòrics. Com s’han de passar la pilota els jugadors? Dibuixa l’estrella.
c) Trobeu la manera de passar-se la pilota 9 jugadors per a fer una estrella. Com ho han de fer? Existeix una única manera? Dibuixa les estrelles resultants.

Deixem estar les estrelles,
d) Quantes trajectòries diferents de la pilota hi pot haver en un rondo de 5 jugadors? (cada jugador la pot passar a qualsevol dels altres, però es considera la mateixa passada si la trajectòria de la pilota és igual; o sigui, és el mateix que el jugador 1 li passi al 2 o al revés).
e) Sabríeu trobar una manera de determinar el nombre de trajectòries diferents per a un rondo de qualsevol nombre de jugadors? Indica el resultat per a 47 jugadors.
f) Si no poden passar-la als que tenen al costat, quin és el nombre màxim de trajectòries diferents que pot haver-hi en el rondo de 47 jugadors?

Introducció
Aquest problema treballa el raonament a partir de la visualització dels dibuixos i de realitzar proves per trobar totes les possibles solucions. Per a 2n i cursos més alts, en arribar a la generalització i trobar el patró poden arribar a trobar la fórmula de la suma dels termes d'una progressió aritmética de diferència 1, per tant, podria ser el raonament geomètric d'aquesta progressió i una bona introducció al tema. Relacionat també amb la regularitat dels nombres triangulars. I amb combinatoria si mireu les possibles ampliacions.

Per què hem seleccionat aquest problema?
Aquest és un problema que permet treballar molt bé la competència 2 de E. Primària: “Donar i comprovar la solució d’un problema d’acord amb les preguntes plantejades” ([1], p. 8) ja que és de múltiples solucions. Com diu a les orientacions: “Si acostumem els alumnes a resoldre problemes que tenen una única solució difícilment podrem assolir aquesta competència”.
Per una altra banda, també és un problema molt adequat per treballar les estratègies de resolució de problemes([2]): fer dibuixos i esquemes (la representació ajuda a visualitzar el problema, trobar totes les possibilitats i pensar), provar ordenadament (per trobar tots els casos possibles), assaig i millora (les 1es proves són un acostament a la resolució del problema, comencen a fer les primeres conjectures o s’intueixen les primeres maneres d’organitzar la investigació) i reduir el problema, provant amb casos més senzills.
Alhora és un problema que té un context proper als alumnes, molts nens fan rondos, que els proporciona experiència en la situació i recorren a ella a les seves explicacions.
L’estudi de les respostes dels alumnes s’ha fet a partir dels 40 informes seleccionats de la 1ª fase del FM14-6è. 

Competències implicades ([1], p. 8)
PROBLEMA
COMPETÈNCIES PRIMÀRIA

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ESTRELLES FUTBOL










Competència 1: Traduir un problema a una representació matemàtica i emprar conceptes, eines i estratègies matemàtiques per resoldre’l  ([1], p.10).
Competència 2: Donar i comprovar la solució d’un problema d’acord amb les preguntes plantejades ([1], p.13).
Competència 4: Fer conjectures matemàtiques adients en situacions quotidianes i comprovar-les ([1], p.20).

Possibles estratègies de resolució de problemes  ([2])
Fer dibuixos i esquemes; Assaig i millora; Provar ordenadament; Reduir el problema, provant amb casos més senzills.


POSSIBLES AMPLIACIONS


. Solución a... los apretones de manos: proposta del blog de Matemáticas Cercanas http://matematicascercanas.com/2014/08/02/solucion-a-los-apretones-de-manos/ que ho relaciona amb el raonament geométric, la progressió geomètrica i la combinatòria pels més grans.
. Matecliks-abraçades: Aquí teniu una bona proposta per l'aula del blog del Puntmat:  http://puntmat.blogspot.com.es/2012/12/maticlicks-presentacio.html?m=1in amb un video-animació interpretat pels clicks en el problema de les abraçades.


VEURE FITXA COMPLETA

ENUNCIAT PELS ALUMNES








dimecres, 21 de setembre del 2016

PALETS I QUADRATS


Problema de la 2ª fase del Fem Matemàtiques 2016- 6è i 1r ESO

Etiquetes: Relació perímetre-àrea. Pràctica exhaustiva


Característiques dels problemes de la segona fase del concurs matemàtic FEM MATEMÀTIQUES

Els problemes de la segona fase del FM s’adapten igualment a les característiques d’activitats riques competencialment parlant. La diferència amb els problemes de la primera fase és que són problemes que al concurs es fan de manera individual juntament amb 3 problemes més i en un temps limitat d'una hora i un quart. Hi participen els alumnes que classificats de la primera fase. Proposen igualment reptes que engresquen als alumnes i afavoreixen el seu raonament matemàtic.  
Com a la primera fase, a l'avaluació donem molta importància a la justificació dels processos , el nivell d'estratègies emprades i l'exposició de solucions argumentades, raonables comprovades. També a la representació i complexitat del llenguatge matemàtic utilitzat. Són activitats competencialment riques [3] per a què l’alumne pugui demostrar tot el que sap.
Al blog treballarem aquells problemes que considerem que han tingut respostes riques i variades per part de l'alumnat, que poden ser pràctics per introduïr, treballar o avaluar conceptes a l'aula, per establir connexions o per la utilització de recursos. Comentarem exemples de respostes d'alumnes per donar més riquesa a la preparació del professor.
I per últim, donarem uns criteris que poden servir per avaluar les competències, tot i que, de vegades, apareixen entrellaçades i es possible que algú hi vegi altres competències implicades o altres criteris per avaluar.
En definitiva, són activitats competencials més curtes que a l'aula es poden utilitzar com a recurs de treball d'equip, individual,  per introduir temes, relacionar-los i, esencialment, raonar matematicament.


Per què hem seleccionat aquest problema?
És un bon problema que ens pot ajudar a treballar i clarificar la relació entre el perímetre i àrea d’una figura poligonal. Inclús de cara al professor per poder discernir i avaluar fins a quin punt estan clars aquests conceptes en els seus alumnes. Alhora, també és una pràctica exhaustiva doncs cal comprovar si hi són totes les possibilitats que poden haver i, per tant, requereix d’una organització i una sistematització en treballar el problema. És un problema típic de múltiples respostes on es demana la solució màxima.
El problema ha de passar necessàriament per una representació més o menys abstracta (amb dibuixos, símbols o lletres) en funció del grau d’abstracció de l’alumne. També es poden utilitzar regletes o palets o tires de plàstic si es vol fer amb material manipulable. En aquest cas es treballaria de manera més explicita la competència 9 de representació.
També veiem un problema que treballa expressament la competència 2. Tal com diu: “la comunicació de les solucions ha de transmetre clarament el resultat en el seu context” i “els continguts més rellevants per el desenvolupament d’aquesta competència estan relacionats amb les operacions aritmètiques, la mesura, les figures geomètriques i les relacions espacials”.

Enunciat:
Teniu en total 24 palets molt prims, 10 estan pintats de color groc i els altres 14 de color blau. Els grocs fan 1 dm de llargada i els blaus fan 3 dm.
Es tracta de construir quadrats delimitats per aquests palets.

a) Quin és el quadrat d’àrea m’és gran que podeu fer? Quants palets de cada color heu fet servir? Expliqueu com heu construït el quadrat.
b) Ara voleu fer dos quadrats que siguin de la mateixa mida i fent servir el màxim nombre de palets possible. Quants palets haureu fet servir en total? Expliqueu com heu construït els quadrats.

Solució:
a) La longitud total dels palets és 10 + 3 . 14= 52 dm. Com que 52 és divisible per 4, anem a veure si es pot construir un quadrat de costat 13 dm. Efectivament, podem construir el quadrat amb tres costats BBBBG i un costat BBGGGGGGG.
b) Com a màxim el perímetre dels dos quadrats és 52:2=26 però, 26 no és divisible per 4. Provem si podem construir dos quadrats de perímetre 24:
- Potser un quadrat amb els costats BB (en total 8 palets) amb un altre quadrat amb 3 costats BB i l’altre costat GGGGGG (total 12 palets) que donarien 20 palets.
- El mateix primer quadrat de tots els costats BB amb un altre amb dos costats BB, un costat BGGG i l’altre GGGGGG (total 14 palets). Aquesta darrera construcció és la que demana l’enunciat.

ENUNCIAT PELS ALUMNES (pdf)


Comentari de les respostes dels alumnes: 
Sobre 48 alumnes, han tingut més de la meitat de la puntuació el 35% i d’aquests un 18% arribarien a la puntuació més alta. Per tant, hi ha un 65% d’alumnes a el concepte de perímetre i la seva relació entre àrees.
La figura 1 mostra una solució correcta i molt completa. Ha utilitzat tots els palets. I li dóna un àrea de 16900 cm2 o 169 dm2. Ha fet un canvi d’unitats que potser no era necessari però utilitza un croquis amb colors per ajudar-se. La major dificultat que troben els alumnes, i que aquest ha resolt bé, és que els costats del quadrat han de tenir la mateixa longitud però no cal que tinguin la mateixa distribució de palets, tal com fa l’alumne de la fig 2. Aquest darrer, encara que arriba a una solució molt bona, no és el màxim demanat: el quadrat en tenir tots els costats idèntics no arriba a tenir el costat de 13 dm sinó de 11dm i l’àrea de 121dm2. Molts alumnes s’han quedat amb aquest pensament de que els costats han de ser absolutament idèntics.
Fig 1



Fig 2















I aquest altre, ho fa amb colors i una llegenda aconseguint també el costat de 11 dm:
Fig 3
En l’apartat b) tenien també la mateixa dificultat doncs per fer servir el màxim nombre de palets als dos quadrats, aquests no poden tenir els costats exactament iguals. La solució la mostra l’alumne de la fig 4 és una de les correctes i és de 22 palets.
Fig 4
Observació: En la figura 4 veiem que l’alumne tot i que dibuixa un quadrat de costat 6 dm, per exemple, dos palets blaus de 3 dm cadascun, calcula com si fossin 9 dm i li dóna una àrea errònia de 81 dm2, quan hauria de ser 36 dm2. 

Aquest alumne (fig 5) en suposar que els costats dels dos quadrats han de ser iguals mostra una solució que no és la màxima com demanava l’enunciat. Li surten 20 palets. Utilitza el números com a representació.
Fig 5
 I la fig.6, l'alumne redueix la resposta a un sol palet per costat i els dos quadrats iguals:
Fig 6
En el següent exemple tenim el cas d’un alumne amb una resposta amb un raonament molt simplificat. En primer lloc cal tenir en compte que la seva resposta a l’apartat a) va ser que l’àrea màxima del quadrat era 81 dm2, resposta que utilitza en el seu raonament per l’apartat b). Després fa una estimació de quina podria ser l’àrea dels dos quadrats però no respon a allò que es demana ja que no comprova que aquests dos quadrats es puguin construir amb els palets donats.
Fig 7 
Exemples d’errors conceptuals
A partir de les respostes dels alumnes també us adjuntem exemples d’errors que creiem que poden ser útils alhora de treballar el problema a l’aula:
 Errors entre la figura plana i la 3D formada per quadrats. Error entre els conceptes d’àrea i volum.
Fig 8

Aquest alumne suma les longituds totals dels palets, ho divideix entre 4 per aconseguir costats iguals i agafa aquesta mesura decimal com a costat (abans fa un canvi d’unitats). Ha considerat que els palets es poden trencar.
Fig 9 
·       Per últim veiem el cas d’aquest alumne que a la pregunta a) sobre l’àrea més gran, respon en termes de perímetre:
Fig 10

Avaluació competencial:
Com molts problemes, mai es treballa una sola competència i és difícil dir quina seria la més treballada. Aquí podem observar que el problema treballa la competència 1, en demanar la traducció del problema a una representació matemàtica (aquesta representació indica clarament quin concepte té l’alumne de perímetres i àrees en un quadrat) i emprar conceptes i estratègies matemàtiques per resoldre (també el tempteig és una estratègia). I per últim, veure si abans de donar per finalizat el problema, l’alumne explora l’existència o no de més solucions i si aquestes s’adeqüen a les limitacions que ens imposa el context, en el nostre cas els palets (competència 2).[1]
Per això, nosaltres vam fer una graduació en 3 nivells que serien més o menys:
Nivell 1: Aquells alumnes que mostren una solució satisfactòria amb els conceptes demanats però no investiga altres possibles solucions i utilitza el tempteig com a estratègia preferent. Exemple figura 6.
Nivell 2: Fan un pas més endavant, donen solucions més properes i raonen de manera més exhaustiva i, alguns, verbalitzen l’estratègia explicant el procés seguit, però en el cas concret d’aquest problema no s’adonen que els costats poden ser diferents. Exemple figures 2, 3 i 5.
Nivell 3: Planifiquen la resolució i arriben a la solució amb una bona justificació i representació emprant llenguatge matemàtic. Han explorat tots els casos. Exemple figures 1 i 4.

En aquest problema també podem veure com hi ha alumnes que han assolit diferents nivells segons la competència observada:
Exemple 1: En aquest cas l’alumne ha fet assolit un nivell 2 en la competència 1, ja que verbalitza l’estratègia utilitzada i explica el procés. Fins i tot s’entreveu una planificació en la resolució. Tot i que no representa la situació ni situa les dades en un esquema.
En la competència 2, assoliria en canvi un nivell 1 ja que no demostra que sàpiga que hi pot haver més d’una solució i que cal donar-ne la màxima de totes elles.


Exemple 2: En la competència 1 assoliria un nivell 1 ja que usa el tempteig com a estratègia principal. Tot i que situa les dades en un esquema, no explica cap estratègia ni el procés seguit.
En la competència 2 assoliria un nivell 2 ja que explora més d’una solució (en l’exemple es veu la solució anterior esborrada) i comprova que la solució compleix les condicions de l’enunciat.





[1] COMPETÈNCIES BÀSIQUES DE L’ÀMBIT MATEMÀTIC. EDUCACIÓ PRIMÀRIA. http://ensenyament.gencat.cat/web/.content/home/departament/publicacions/colleccions/competencies-basiques/primaria/prim-matematic.pdf