Pomeres i xiprers
Problema 2a fase 2014. 1r ESO
Etiquetes: Patrons. Àlgebra. Expressions algebraiques. Avaluació competencial
Bloc de
continguts: Canvi
i relacions.
Nivells: 1r, 2n i 3r ESO
Les
autores del blog estem fent un treball
d’investigació sobre la introducció de l’àlgebra a les aules de secundària
que vol donar una visió més amplia que el que moltes vegades se sol treballar.
Tot sovint es presenta la introducció a l’àlgebra com abstracció de les
operacions aritmètiques fent que aquest plantejament eclipsi altres
aproximacions. Creiem que, si aquest plantejament es realitza amb protagonisme
excessiu, suposa una dificultat per l’alumnat ja que cal que s’introdueixin en
un món abstracte sense sentit ni significat per a ells. Pensem que una bona manera de dotar de significat al llenguatge algebraic és plantejant
també situacions on els calgui la construcció
personal d’expressions i haver-les de
comunicar i interpretar. Aquest treball és possible amb un tipus de
problema competencialment ric que els provoqui la necessitat d’utilitzar aquest
llenguatge molt més potent que no el purament verbal (“ja que una fórmula és molt més potent que 3 línies d’explicació”) (Burgués,
2011). D’aquesta
manera s’introdueixen en aquest món de lletres, números i operacions de manera significativa.
Volem
fer especial èmfasi en tota la vessant
comunicativa “que ens permet expressar de manera general e interpretar de forma sintètica
propietats i relacions numèriques conegudes o desconegudes” (Calvo et al.
(2016)) i argumentativa “en desvetllar
relacions noves, buscar equivalències entre expressions aparentment diferents i
justificar les relacions” de l’àlgebra
i del llenguatge matemàtic (Calvo et al., 2016). Volem centrar-nos en un treball de competències i processos (raonament i prova, comunicació) tal como
indica el currículum. Dintre dels problemes del FM podem trobar molts exemples que
treballen aquestes dues vessants a partir de la investigació de patrons i que ens proporcionen magnífiques
oportunitats per fer aquesta introducció significativa al llenguatge algebraic.
Per què hem
seleccionat aquest problema?
Com
a exemple hem escollit un problema d’investigació
d’un patró geomètric plantejat a la 2ª fase de 2014 per a 1r d’ESO, el que
vol dir que els alumnes tenien, en general, poc coneixement del llenguatge
algebraic. Volem mostrar com, amb aquest tipus de problemes i en aquest moment
del seu coneixement, tenen eines per arribar al resultat correcte. Deduint i
organitzant les dades en una taula són capaços de veure que hi ha algun patró
que segueixen tant les pomes com els xiprers en fer créixer el nombre de files,
treballant així el pensament algebraic i
necessitant el llenguatge algebraic per expressar les relacions que han estat
capaços de deduir a partir de la seva investigació.
A
més l’expressió del creixement de
cada figura (dels pomers i dels xiprers) no és del mateix tipus doncs el dels
xiprers és lineal (8n) i el de
pomeres és quadràtic (n2).
Això es pot constatar perfectament si com es proposa a l’ampliació (Morera et
al., 2014) es construeix una gràfica que visualment mostra com
arriba un moment (en la intersecció) en que el nº de pomers i xiprers és igual
i que després el nº de pomers, contràriament al que es podria suposar, creix i
serà més gran que el de xiprers (veure fig 15).
A
vegades les gràfiques ens proporcionen una informació que taules i fórmules
(essent totes 3 representacions d’una relació), no ens donen i viceversa. Cal
que deixem clar als alumnes aquestes tres formes de representar una relació. I
també treballar les característiques de cada una, els seus punts forts i els no
tan forts i com, en problemes
concrets, ens poden ser més útils unes
que altres, sent també un factor important l’alumne i el plantejament que
vulgui realitzar.
D’entre
els exemples veureu com alguns arriben a l’expressió verbal del patró, altres a
l’expressió semi algebraica i uns poquets a fórmules. Però pensem que això és
suficient per, mitjançant bones preguntes, portar-los a construir aquest
llenguatge matemàtic en un context d’aula. Sobretot cal mostrar-los la seva
potència i la seva riquesa i, així, fer de la introducció a l’àlgebra una eina
necessària per a ells.
El
problema fet al FM2014 està extret d’un problema PISA (Consell Superior
d’Avaluació de Catalunya (2005) y Pajares, Sanz y Rico (2004)) i àmpliament treballat i comentat a
Morera et al. (2014).
Per una altra banda estem realitzant un treball d’avaluació competencial
utilitzant com a eina una rúbrica
que ajuda a valorar realment els processos
més implicats (més que el resultat), establint una puntuació amb graduació que
pot facilitar la feina del professorat i alhora introduir-lo en aquesta
avaluació dels processos. Ho podreu trobar en la nostra propera entrada.
Enunciat:
En un poble hi ha molts horts de
forma quadrada, uns són molt petits i d’altres més grans. Alguns pagesos hi han
plantat pomeres i per protegir-les del vent han plantat xiprers al voltant de
l’hort tal com es veu a la figura següent i on n indica el nombre de files de pomeres que té cada hort.
¿Quantes pomeres hi ha a l’hort d’un
pagès que ha plantat tants xiprers com pomeres?
Solució:
Si organitzem
les dades en una taula:
n
|
Pomeres
|
Xiprers
|
1
|
1
|
8
|
2
|
4
|
16
|
3
|
9
|
24
|
…
|
…
|
…
|
n
|
n2
|
8n
|
I igualem les expressions algebraiques, obtenim la resposta:
n2 = 8n
n·n =8n
n= 8
Comentaris amb
respostes dels alumnes:
En aquest apartat volem mostrar diverses estratègies d’atac i
resolució dels problemes.
Alguns donen una resposta intuïtiva argumentada amb la seva
lògica i troben impossible que arribi un moment que el nº de pomers i xiprers
sigui el mateix:
 |
| figura 1 |
 |
| figura 2 |
L’estrategia més bàsica és la de dibuixar i comptar. En
aquest cas també es pot observar que amb aquesta estratègia, tot i ser senzilla,
també és molt fàcil descomptar-se com li ha passat en aquest alumne que s’ha
equivocat a l’hora de comptar el nº de xiprers en la novena posició:
 |
| figura 3 |
Aquest alumne arriba a la solució fent un recompte numèric i
l’organitza en una taula. Sembla que d’alguna manera tingui el patró al seu cap
però, en no expressar-lo, no ho podem
saber, d’aquí la importància d’aconseguir que argumentin i justifiquin les respostes.
 |
| Figura 4 |
L’organització de dades en una llista, esquema o taula és un instrument potent per relacionar els
números i establir relacions. El
primer que fan és la relació vertical o
recursiva, que és més senzilla, de manera que suposem que hauran vist que
el nombre de xiprers d’una posició s’obté sumant 8 a la posició anterior. I en
el cas de les pomeres sumant la sèrie dels nombres imparells de manera
creixent. Tal com argumenta amb llenguatge simbòlic el següent alumne:
 |
| Figura 5 |
Aquesta altra taula té la avantatge que posa el número de
posició, el que facilitaria la cerca
d’un possible patró horitzontal o funcional en funció del nº de posició
sense necessitat de saber el número de la posició anterior:
 |
| Figura 6 |
Els següents alumnes ja expressen la regla o patró que
segueix cada arbre, de manera verbal:
 |
| Figura 7 |
Veu el patró horitzontal o funcional i diu que “el nombre de xiprers s’obté multiplicant el
nombre de files per 8”. D’aquesta expressió verbal a la semi algebraica i
la fórmula no hi ha molt.
Aquest
alumne utilitza primer l’estratègia del dibuix amb nombres petits, després
calcula i veu els patrons:
 |
| Figura 8 |
En la següent representació ens adonem que veu que els
nombres de pomeres són quadrats perfectes i va ampliant amb el dibuix
corresponent als xiprers agafant múltiples de 8. Reconeix els dos patrons i els
relaciona: “He agafat un nombre que
multiplicat per si mateix [relació dels pomers] ens doni múltiple de 8 [relació
dels xiprers] perquè van de 8 en 8”.
 |
| Figura 9 |
I aquest, arriba a l’expressió algebraica
de la fórmula que relaciona el nº de
xiprers i pomeres i l’explica verbalment “si
multipliques el nombre de files de pomeres [n] per 8, et surten el nombre de xiprers” :
 |
| Figura 10: una semi fórmula |
Notem que després dóna també l’expressió del nombre de pomeres (on indica Fórmula): n · xiprers : 8 = pomeres
Si considerem que ja ha indicat que el nombre de xiprers és 8n, aleshores tenim
que el nombre de pomeres és:
n · 8n : 8 = n2
En el següent exemple, l’alumne sintetitza en una igualtat de les dues fórmules i fa una equació arribant a la solució. S’adona del patró de creixement de
cada figura, veu que és diferent, argumenta la fórmula que l’expressa relacionant
cada quantitat d’arbre amb el nº de files i, per últim, com ha d’arribar un
moment que el nº ha de ser igual, iguala les fórmules.
 |
| Figura 11: Fórmules |
 |
| Equació |
Un dels alumnes és capaç de posar una fórmula amb què
obté el nº de xiprers.
 |
| Figura 12 |
 |
| Figura 13 |
O
bé podria ser aquesta interpretació:
Veu que per cada costat
hi ha per una banda tants xipressos com pomers. Després hi ha els forats entre
pomeres que són n-1 i que també són xipressos. Això ho ha de
multiplicar per 4. I finalment suma 4 per les cantonades.
 |
| Figura 14 |
Tal
com es proposa a Morera et al. (2014) en l’apartat
d’ampliació és molt interessant que surtin expressions diferents per a la
mateixa situació. Al final podrem discutir si són o no equivalents i intentar
entendre-les, doncs cada una suposa una interpretació diferent. Que els alumnes
expliquin i l’argumentin als companys és una bona feina de comunicació i de treball del llenguatge algebraic.
Ampliació:
En
Morera et al. (2014), les preguntes que donen, ajuden a plantejar el cas general
per a n pomeres i xiprers i, per tant, a donar la fórmula que donaria el patró
de cada arbre. Comença per demanar una figura que és gairebé inmediatament
posterior i que ajuda a establir una estratègia d’atac per passar al cas
general de n tarongers [1] .
També podria haver fet una graduació, demanant per nº d’ordre majors que ja no
permet el dibuix i obliga a plantejar-se algun mètode de càlcul. Finalment els
pregunta si és possible que hi hagi més quantitat de pomers que de xiprers, el
que ajuda a anar més enllà dels resultats numèrics i donar sentit tant a les
expressions algebraiques que construeixen com a la construcció d’una gràfica.
Un agricultor quiere plantar naranjos siguiendo una
forma cuadrada y alrededor quiere plantar pinos. Se imagina el siguiente
esquema para 1, 2 y 3 filas de naranjos:
1. Explica cuántos naranjos y pinos hacen falta
para cinco filas de naranjos. ¿cómo lo has hecho?
2. Para el caso general de n filas de [2] naranjos,
¿cuántos naranjos necesitan? ¿y pinos?
3. El principal ingreso del agricultor proviene de la
venta de naranjas. Por tanto, le interesa tener más cantidad de naranjos que de
pinos. Manteniendo la forma del huerto, ¿es esto posible?
La
primera pregunta és semblant a la del problema del FM. La segona planteja, com
hem dit, el cas general i obliga a formular expressions algebraiques. I per respondre
la tercera, la representació gràfica és ideal.
Si
fem la representació gràfica, el punt de tall que dóna 8 seria quan el nº de
pomeres és igual al de xiprers. A partir d’aquest punt, es pot visualitzar com sempre hi haura més
pomeres dins del requadre que de xiprers en el perímetre. Per tant, n=8.
 |
| fig 15 Gràfica referent al problema treta de Morera et al. (2014) |
Gràcies a la representació podem visualitzar com
varia el creixement de cada figura i perquè pot arribar un moment que hi hagi
més pomeres que xiprers en el perímetre.
Afegim diversos raonaments que poden fer per calcular
el nº de xipresos que hi haurà en funció de n fileres de tarongers, trets també de Morera et al.
(2014)[3]:
Referències
Burgués, C. (octubre 2011) Constant o variable, el canvi
depèn de tu. Relacions i canvi, un bloc fonamental del currículum [Vídeo].
Recuperat http://srvcnpbs.xtec.cat/creamat/joomla/index.php/formacio-creamat/conferencies/771-constant-o-variable-el-canvi-depen-de-tu-relacions-i-canvi-un-bloc-fonamental-del-curriculum-
Calvo, C., Deulofeu, J., Jareño, J.
i Morera, L. (2016). Aprender a enseñar
matemáticas en la educación secundaria obligatoria. Madrid: Editorial
Síntesis.
Consell Superior d’Avaluació de
Catalunya (2005). PISA 2000. Ítems alliberats. Barcelona: Generalitat de
Catalunya, Departament d’Educació.
Morera, L., Chico,
J., Badillo, E. y Planas, N. (2014). Problemas ricos en
argumentación para secundaria: reflexiones sobre el pensamiento del alumnado y
la gestión del profesor. Suma, 70, 9-20. http://revistasuma.es/IMG/pdf/70/009-020.pdf
Pajares, R.; Sanz, Á. y Rico, L. (2004). Aproximación a un modelo de evaluación: el
Proyecto PISA 2000. Madrid: Secretaría General Técnica,
Ministerio de Educación,Cultura y Deporte.
http://www.mecd.gob.es/dctm/ievaluacion/internacional/aproxapisa2000.pdf?documentId=0901e72b80110706
http://www.mecd.gob.es/dctm/ievaluacion/internacional/aproxapisa2000.pdf?documentId=0901e72b80110706
[3] En aquest quadre també
trobem un error tipogràfic, la segona expressió seria (2n +1)·4 – 4 (i no per
4n com consta en la taula).
